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T h e m e n ü b e r s i c h t
In der Analysis dreht sich alles um Funktionen und deren Eigenschaften. Viele elementare Funktionstypen haben Sie bereits im zurückliegenden Mathematikunterricht kennengelernt. Im nachfolgendem werden die wesentlichen Grundkenntnisse über die elementaren Funktionen systematisch zusammengefasst und eingeübt. Damit wird die Basis für das Verständnis der Differenzial- und Integralrechnung gelegt, die dann im späteren Verlauf des Kurses behandelt wird.
1. Elementare reelle Funktionen und Funktionstypen
=> Lineare Funktionen
=> Quadratische Funktionen
=> Ganzrationale Funktionen
=> Gebrochenrationale Funktionen
=> Potenzfunktionen
=> Wurzelfunktionen
=> Exponentialfunktionen
=> Logarithmusfunktionen
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Grundwissen über reelle Funktionen
In der Analysis dreht sich alles um Funktionen und deren Eigenschaften. Viele elementare Funktionstypen haben Sie bereits im zurückliegenden Mathematikunterricht kennengelernt. Im nachfolgendem werden die wesentlichen Grundkenntnisse über die elementaren Funktionen systematisch zusammengefasst und eingeübt. Damit wird die Basis für das Verständnis der Differenzial- und Integralrechnung gelegt, die dann im späteren Verlauf des Kurses behandelt wird.
2. Untersuchung zusammengesetzter Funktionen mit algebraischen Methoden
Durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Verkettung entstehen aus den elementaren Funktionen zusammengesetzte Funktionen. Einige fundamentale Eigenschaften dieser komplexen Funktionen lassen sich mit algebraischen Methoden bestimmen.
=> Definitionsmenge
=> Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen
=> Schnittpunkte von Funktionsgraphen
=> Symmetrie von Funktionsgraphen
=> Lage- und Formänderungen von Funktionsgraphen
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Die Differenzialrechnung interessiert sich für das lokale Verhalten einer Funktion und untersucht die Auswirkungen, welche infinitesimale - d.h. kleine - Änderungen im Funktionsargument auf Änderungen des Funktionswerts haben. Die dabei gefundenen Zusammenhänge und Rechenmethoden stellen eines von zwei Fundamenten der Analysis dar. Sie sind für die Untersuchung reeller Funktionen und die Entwicklung mathematischer Modelle, welche die Wirklichtkeit abbilden, heute unverzichtbar.
3. Grenzwertrechnung
Die Grenzwertrechnung ist ein effektives mathematisches Werkzeug, mit dessen Hilfe man das lokale Verhalten von Funktionen rechnerisch untersuchen kann.
=> Grenzwerte vom Typ x => ± ∞
=> Grenzwerte vom Typ x => xo
=> Asymptoten
=> Stetigkeit
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WIKIPEDIA-Suche Suchbegriff(e): Grenzwert ....
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WIKIPEDIA-Suche Suchbegriff(e): Asymptote ....
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WIKIPEDIA-Suche Suchbegriff(e): Stetigkeit ....
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Die Differenzialrechnung interessiert sich für das lokale Verhalten einer Funktion und untersucht die Auswirkungen, welche infinitesimale - d.h. kleine - Änderungen im Funktionsargument auf Änderungen des Funktionswerts haben. Die dabei gefundenen Zusammenhänge und Rechenmethoden stellen eines von zwei Fundamenten der Analysis dar. Sie sind für die Untersuchung reeller Funktionen und die Entwicklung mathematischer Modelle, welche die Wirklichtkeit abbilden, heute unverzichtbar.
4. Ableitung
Wesentlliche Eigenschaften einer Funktion lassen sich aus ihrer "Empfindlichkeit" gegenüber den Änderungen der Argumentwerte ablesen. Mithilfe von Grenzwerten kann der Empfindlichkeitsbegriff präzise gefasst und geometrisch als Steigung einer Graphentangente interpretiert weren. Verschiedene Techniken ermöglichen es, die Tangentensteigungen ohne zeit- und arbeitsaufwendige Grenzwertrechnung zu bestimmen.
=> Differenzierbarkeit
=> Ableitungsregeln
=> Tangenten und Normalen
=> Regeln von L´Hospital
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Die Differenzialrechnung interessiert sich für das lokale Verhalten einer Funktion und untersucht die Auswirkungen, welche infinitesimale - d.h. kleine - Änderungen im Funktionsargument auf Änderungen des Funktionswerts haben. Die dabei gefundenen Zusammenhänge und Rechenmethoden stellen eines von zwei Fundamenten der Analysis dar. Sie sind für die Untersuchung reeller Funktionen und die Entwicklung mathematischer Modelle, welche die Wirklichtkeit abbilden, heute unverzichtbar.
5. Elemente der Kurvendiskussion
Unter Kurvendiskussion versteht man die rechnerische Ermittlung möglichst vieler Eigenschschaften einer reellen Funktion aus dem Funktionsterm. Die Ergebnisse dieser "Diskussion" liefern die markanten Punkte des Funktionsgraphen und erleichtern die Anfertigung einer Skizze des Graphen.
=> Steigungsverhalten
=> Relative Extrema
=> Krümmungsverhalten
=> Wertemenge
=> Ortskurven
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Die Differenzialrechnung interessiert sich für das lokale Verhalten einer Funktion und untersucht die Auswirkungen, welche infinitesimale - d.h. kleine - Änderungen im Funktionsargument auf Änderungen des Funktionswerts haben. Die dabei gefundenen Zusammenhänge und Rechenmethoden stellen eines von zwei Fundamenten der Analysis dar. Sie sind für die Untersuchung reeller Funktionen und die Entwicklung mathematischer Modelle, welche die Wirklichtkeit abbilden, heute unverzichtbar.
6. Die Umkehrfunktion und ihre Ableitung
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Das Hauptanliegen der Integralrechnung war ursprünglich die Berechnung der Inhalte von Flächen, die von " krummen Linien " begrenzt werden. Die bei der Lösung dieses Problems entstandene Theorie stellt neben der Differenzialrechnung das zweite Fundament der Analysis dar. Zwischen beiden besteht ein enger Zusammenhang, er im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zum Ausdruck kommt.7. Bestimmtes Integral
Das bestimmte Integral ist die mathematische Antwort auf die Frage, wie man den Inhalt von Flächen berechnet, die von Funktionsgraphen und Geraden begrenzt werden, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Die Grundidee zur Lösung dieses Problems ist schon mehr als 2 500 Jahre alt und besteht darin, die Flächen mit regelmäßigen Polygonen bekannten Inhalts bestmöglichst zu füllen.
=> Riemann´sches Integral
=> Die Integrationsformel
=> Flächenberechnungen
=> Rauminhalt von Drehkörpern
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WIKIPEDIA-Suche Suchbegriff(e): Riemann´sches Integral ....
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Das Hauptanliegen der Integralrechnung war ursprünglich die Berechnung der Inhalte von Flächen, die von " krummen Linien " begrenzt werden. Die bei der Lösung dieses Problems entstandene Theorie stellt neben der Differenzialrechnung das zweite Fundament der Analysis dar. Zwischen beiden besteht ein enger Zusammenhang, er im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zum Ausdruck kommt.8. Integralfunktionen
Im vorangegangenen Kapitel haben Sie die Integrationsformel als effektives Hilfsmittel zur Berechnung von bestimmten Integralen kennengelernt. Sie lässt sich aus den Differenzierbarkeitseigenschaften von Integralfunktionen herleiten. Das sind bestimmte Integrale, bei denen eine Integrationsgrenze variabel ist. Sie stellen das Bindeglied zwischen der Differenzial- und der Integralrechnung dar. Ihre wichtigsten Eigenschaften sind Gegenstand dieses Kapitels.
=> Integralfunktionen als Stammfunktionen
=> Nullstellen von Integralfunktionen
=> Symmetrieverhalten von Integralfunktionen
=> Monotonie und Krümmungsverhalten von Integralfunktionen
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GOOGLE-Suche Suchbegriff(e): Symmetrieverhalten von Integralfunktionen ....
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GOOGLE-Suche Suchbegriff(e): Monotonie und Krümmungsverhalten von Integralfunktionen ....
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Das Hauptanliegen der Integralrechnung war ursprünglich die Berechnung der Inhalte von Flächen, die von " krummen Linien " begrenzt werden. Die bei der Lösung dieses Problems entstandene Theorie stellt neben der Differenzialrechnung das zweite Fundament der Analysis dar. Zwischen beiden besteht ein enger Zusammenhang, er im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zum Ausdruck kommt.9. Integrationsmethoden
Die Analysis hat eine Reihe von Werkzeugen entwickelt, mit deren Hilfe man zu vorgegebenen Funktionen Stammfunktionen berechnen kann. Davon werden vier in diesem Kapitel behandelt. Im Gegensatz zu den Ableitungsregeln sind diese Verfahren aber keine einfachen oder allgemeinen Algorithmen. Sie greifen oft nur, wenn Sie durch intensives Üben zielgerichtetes Raten erlernt und einen Blick für passende Umformungen entwickelt haben.
=> Integration durch Substitution
=> Partielle Integration
=> Logarithmische Integration
=> Integration durch Partialbruchzerlegung
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WIKIPEDIA-Suche Suchbegriff(e): Integration durch Substitution ....
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GOOGLE-Suche Suchbegriff(e): Integration durch Partialbruchzerlegung ....
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WIKIPEDIA-Suche Suchbegriff(e): Integration durch Partialbruchzerlegung ....
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Das Hauptanliegen der Integralrechnung war ursprünglich die Berechnung der Inhalte von Flächen, die von " krummen Linien " begrenzt werden. Die bei der Lösung dieses Problems entstandene Theorie stellt neben der Differenzialrechnung das zweite Fundament der Analysis dar. Zwischen beiden besteht ein enger Zusammenhang, er im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zum Ausdruck kommt.10. Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale begegnet man in der Physik z.B. bei der Berechnung der kinetischen Energie, mit der Alphateilchen den Atomkern verlassen, oder bei der Ermittlung der Arbeit, die erforderlich ist, um einen Körper unendlich weit von der Erde weg ins All zu schießen. In der Mathematik treten sie bei der Berechnung von Flächen auf, die sich ins Unendliche erstrecken, oder bei der Integration, wenn eine oder beide Integrationsgrenzen Pole der Integrandenfunktion sind.
=> Uneigentliche Integrale 1. Art
=> Uneigentliche Integrale 2. Art
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11. Steckbriefaufgaben
Bei Steckbriefaufgaben sind ein oder mehrere Parameter in einem Funktionsterm mithilfe von vorgegebenen Funktionseigenschaften zu berechnen. Dabei ist es möglich, mithilfe der Angaben des Aufgabentextes ein eindeutig lösbares Gleichungssystem aufzustellen, das die Parameter als Unbekannt besitzt.
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12. Extremwertaufgaben
In Extremwertaufgaben wird nach den Voraussetzungen gefragt, unter denen eine bestimmte Größe maximal oder minimal wird, und die Berechnung dieses größten bzw. kleinsten Werts gefordert. Bei der Lösung geht man schrittweise vor.
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13. Wachstums- und Abnahmeprozesse
Die Zunahme von Bakterien in einer Nährlösung, der Zerfall einer radioaktiven Substanz, die Ablagerung von Sedimenten auf dem Meeresgrund, die Anreicherung von CO2 in der Atmosphäre, das Waldsterben, die verzinsungsbedingte Zunahme eines Kapitals - das sind nur einige wenige aus einer Vielzahl von Beispielen für Wachstums- und Zerfallprozesse. Mithilfe der Analysis lassen sich solche Vorgänge beschreiben und ihre charakteristischen Kenngrößen bestimmen.
=> Exponentielles Wachsen oder Abnehmen
=> Beschränktes Wachstum
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GOOGLE-Suche Suchbegriff(e): Exponentielles Wachsen oder Abnehmen ....
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WIKIPEDIA-Suche Suchbegriff(e): Exponentieller Prozess ....
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GOOGLE-Suche Suchbegriff(e): Beschränktes Wachstum ....
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wolfgang.knell@gmail.com
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